2.2. Comparaison théorique et expérimentale.
Nous nous proposons, à présent, de vérifier la formule énoncée dans partie 1 :
Afin de le vérifier si la fréquence nous avons effectué la manipulation suivante :
Voici un tableau comptabilisant les caractéristiques de 6 verres différents.
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| fig. 2.8 – les différents verres comparés |
Si on range dans l’ordre croissant les systèmes en fonctions de leur fréquence, on obtient :
536,3 < 643 < 1201 < 1561 < 1573 < 1810 <=> a < f < c < e < d < b
Ce classement ne se rapproche d’aucun autre. Par contre, les valeurs pour la masse sont rangées dans l’ordre inverse par rapport à celles de la fréquence :
213 > 220 > 116 > 110 > 106 > 374 <=> b < d < e < c < f < a
Nous pouvons donc conjecturer qu’il existe un lien entre la fréquence d’un système et sa masse. Plus précisément : plus on augmente la masse d’un système, plus sa fréquence diminue.
Nous constatons aussi que les verres de verre ont une fréquence nettement plus haute que ceux de verre et de plomb1. Nous pouvons donc en déduire qu’il existe un lien entre la fréquence d’un système et les matériaux qui le constituent.
Ces constatations simples semblent nous confirmer que, pour un système complexe, les deux paramètres influant sur la fréquence sont la masse du système étudié et la matière dont il est fait (nous pouvons supposer qu’il s’agit de sa constante de raideur).
Evolution de la fréquence d’un système complexe par rapport à sa masse.
Précédemment, nous avons remarqué que l’ajout d’eau dans notre verre faisait varier la fréquence de celui-ci (2.1), de plus nous avons remarqué que la fréquence dépendait en partie de la masse du système étudié.
Nous avons pris un verre parfaitement cylindrique2 et, pour faire varier sa masse, nous lui avons ajouté de l’eau.
A chaque ajout nous avons déterminé la fréquence fondamentale du système de la même manière que nous l’avons décrite dans la première partie.
Voici les résultats sous forme de tableau de valeurs et de courbe :
Cette courbe conforte la déduction de notre étude précédente : plus on augmente la masse d’un système, plus sa fréquence diminue.
Nous pouvons remarquer que, dans un premier temps (sur [0,213 ; 0,252]) la valeur de la fréquence fondamentale du système reste constante malgré l’ajout d’eau (donc malgré la variation de masse totale du système).
Hypothèse 1 : il s’agit d’une erreur de manipulation.
Hypothèse 2 : il existe des paramètres propres au verre qui font que la variation de masse du système n’influe sur sa fréquence qu’à partir d’un certain « moment ».
Afin de conforter ces résultats nous avons refait, avec le même verre, une série de mesures en utilisant cette fois de la glycérine. De masse volumique plus importante que l’eau, nous avons pu réaliser plus de mesure avant d’atteindre le haut du verre.
Voici les résultats sous forme de courbes :
Nous pouvons constater (fig. 2.10) que la courbe du système {verre+glycérine} se comporte de la même manière que la courbe du système {verre+eau} : on observe une période durant laquelle la fréquence ne varie pas.
L’hypothèse d’une erreur de manipulation (hypothèse 1) est donc à rejeter.
Les deux courbes ne sont cependant pas superposables.
Hypothèse : la différence entre les deux courbes est due à la différence de masse volumique des deux fluides.
La fig. 2.11 confirme cette hypothèse : en effet, les courbes « fréquence en fonction du volume de fluide» des deux systèmes sont pratiquement superposables.
Afin d’expliquer la constance de la courbe, Dr B. Levine, professeur au lycée Renoir nous suggère :
« Schématisons le verre comme cela (fig. 2.12).
Il se peut que le verre ne vibre ou ne se déforme pas sur la totalité de sa surface.
La portion a du verre constituerait la partie non vibrante et la partie b du verre constituerait la partie soumise à la déformation due à la résonance.
En somme, il faudrait imaginer une limite entre ces deux parties que l’ajout d’eau nous permet de mettre en évidence.
Il serait alors très facile de repérer le moment où l’on « change de partie » grâce à la courbe « fréquence en fonction de masse totale » : la constance de la courbe nous indiquerait que nous sommes dans la partie a, « la chute » nous indiquerait que l’on vient de passer la limite. »
Nous avons pris un verre parfaitement cylindrique2 et, pour faire varier sa masse, nous lui avons ajouté de l’eau.
A chaque ajout nous avons déterminé la fréquence fondamentale du système de la même manière que nous l’avons décrite dans la première partie.
Voici les résultats sous forme de tableau de valeurs et de courbe :
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| fig. 2.9 – fréquence fondamentale d’un système en fonction de sa masse |
Cette courbe conforte la déduction de notre étude précédente : plus on augmente la masse d’un système, plus sa fréquence diminue.
Nous pouvons remarquer que, dans un premier temps (sur [0,213 ; 0,252]) la valeur de la fréquence fondamentale du système reste constante malgré l’ajout d’eau (donc malgré la variation de masse totale du système).
Hypothèse 1 : il s’agit d’une erreur de manipulation.
Hypothèse 2 : il existe des paramètres propres au verre qui font que la variation de masse du système n’influe sur sa fréquence qu’à partir d’un certain « moment ».
Afin de conforter ces résultats nous avons refait, avec le même verre, une série de mesures en utilisant cette fois de la glycérine. De masse volumique plus importante que l’eau, nous avons pu réaliser plus de mesure avant d’atteindre le haut du verre.
Voici les résultats sous forme de courbes :
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| fig. 2.10 : comparaison des fréquences des systèmes {verre+glycérine} et {verre+eau} en fonction de leurs masses respectives |
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| fig. 2.11 : comparaison des fréquences des systèmes {verre+glycérine} et {verre+eau} en fonction de leurs masses respectives |
Nous pouvons constater (fig. 2.10) que la courbe du système {verre+glycérine} se comporte de la même manière que la courbe du système {verre+eau} : on observe une période durant laquelle la fréquence ne varie pas.
L’hypothèse d’une erreur de manipulation (hypothèse 1) est donc à rejeter.
Les deux courbes ne sont cependant pas superposables.
Hypothèse : la différence entre les deux courbes est due à la différence de masse volumique des deux fluides.
La fig. 2.11 confirme cette hypothèse : en effet, les courbes « fréquence en fonction du volume de fluide» des deux systèmes sont pratiquement superposables.
Afin d’expliquer la constance de la courbe, Dr B. Levine, professeur au lycée Renoir nous suggère :
« Schématisons le verre comme cela (fig. 2.12).
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| fig. 2.12 – Théorie des parties vibrantes et non vibrantes dans un verre |
La portion a du verre constituerait la partie non vibrante et la partie b du verre constituerait la partie soumise à la déformation due à la résonance.
En somme, il faudrait imaginer une limite entre ces deux parties que l’ajout d’eau nous permet de mettre en évidence.
Il serait alors très facile de repérer le moment où l’on « change de partie » grâce à la courbe « fréquence en fonction de masse totale » : la constance de la courbe nous indiquerait que nous sommes dans la partie a, « la chute » nous indiquerait que l’on vient de passer la limite. »
Comparaison des résultats théoriques et expérimentaux
Il est maintenant intéressant de comparer, pour un même système, des résultats théoriques avec nos résultats expérimentaux.
Pour cela nous utiliserons la formule admise dans le 1.3 :
Formule et calculs
Problème : nous connaissons la masse de notre système mais nous ignorons sa constante de raideur k. De plus, nous supposons que l’eau que nous rajoutons dans notre verre (source de la variation de masse du système) va faire varier la constante de raideur k du système {verre+eau}
Définissons k, dans le cas du système {verre+eau}
La seule méthode pour cela est d’utiliser nos résultats expérimentaux et, en les combinant à notre formule, en déduire la valeur de k.
Une première méthode par le calcul s’est révélée fausse, en effet la valeur de la constante k n’était pas constante (annexe 4). Nous avons testé une seconde méthode :
Comme ω2 et 1/m (où m représente la masse totale) ne sont pas proportionnels (voir annexe 5), nous avons considéré m comme étant la masse vibrante du verre (voir annexe 6).
Voici la courbe ω2 en fonction de :
y = 11 102 844,295x est l’équation de la droite passant par l’origine. Cela traduit effectivement une situation de proportionnalité sur l’intervalle [0 ; 2,7].
Nous déduisons un ordre de grandeur de la valeur de k, constante de raideur du système tel que k = a = 1.107 N.m-1
R2 est le coefficient de corrélation évoluant entre 0 et 1. Plus sa valeur se rapproche de 1, plus la courbe de tendances (en noir) se rapprochent des valeurs initiales des courbes donc plus l’approximation est juste.
Pour cela nous utiliserons la formule admise dans le 1.3 :
Problème : nous connaissons la masse de notre système mais nous ignorons sa constante de raideur k. De plus, nous supposons que l’eau que nous rajoutons dans notre verre (source de la variation de masse du système) va faire varier la constante de raideur k du système {verre+eau}
Définissons k, dans le cas du système {verre+eau}
La seule méthode pour cela est d’utiliser nos résultats expérimentaux et, en les combinant à notre formule, en déduire la valeur de k.
Une première méthode par le calcul s’est révélée fausse, en effet la valeur de la constante k n’était pas constante (annexe 4). Nous avons testé une seconde méthode :
Voici la courbe ω2 en fonction de :
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| fig. 2.13 – ω2 en fonction de 1/m où m représente la masse « vibrante » |
Nous déduisons un ordre de grandeur de la valeur de k, constante de raideur du système tel que k = a = 1.107 N.m-1
R2 est le coefficient de corrélation évoluant entre 0 et 1. Plus sa valeur se rapproche de 1, plus la courbe de tendances (en noir) se rapprochent des valeurs initiales des courbes donc plus l’approximation est juste.
Calculs théoriques de la fréquence de notre système {verre + eau}
Maintenant que nous connaissons la valeur de k, constante de raideur de notre système, nous allons pouvoir calculer théoriquement quelle serait sa fréquence si on appliquait la formule ω2 = k / m.
Pour la valeur de m, nous prendrons les valeurs expérimentales.
Pour k = 1.107 N.m-1 et m variable, évoluant entre 0,381 et 1 kg, voici la courbe f = f(mtotale).
(pour simplifier la comparaison, nous avons superposé nos résultats expérimentaux et théoriques) :
Nous pouvons constater sans difficulté que les courbes ne sont pas superposables : les résultats expérimentaux et théoriques ne concordent pas. La formule est donc inapplicable à un système complexe. En d’autre terme, le modèle masse-ressort choisi ne semble donc pas convenir.
Pour la valeur de m, nous prendrons les valeurs expérimentales.
Pour k = 1.107 N.m-1 et m variable, évoluant entre 0,381 et 1 kg, voici la courbe f = f(mtotale).
(pour simplifier la comparaison, nous avons superposé nos résultats expérimentaux et théoriques) :
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| Fig. 2.14 – Comparaison des résultats théoriques et expérimentaux |
Dans le cas d’un système {verre+farine}
Nous avons voulu essayer d’effectuer un relevé de fréquences en introduisant dans notre système un autre type de matériau, ici de la farine.
Résultats :
L’ajout d’un matériau tel que de la farine (matière molle) dans un système n’influe pas sur sa fréquence. En revanche, plus sa quantité est importante plus l’amortissement de la vibration l’est aussi.
Interprétation
Il est impossible d’interpréter ce résultat.
